Os mods são complementos que mudam vários aspectos do Minecraft, o jogo de aventura e construções. Alguns mods adicionam novos blocos. Outros trocam as regras do ambiente ou melhoram os gráficos. Instalá-los é fácil se você usar ferramentas como o Minecraft Forge.
O mundo dos mods é fascinante e, ao mesmo tempo, é fácil se perder ou se equivocar. Para ajudar você a começar, eu reuni os que eu acredito serem os melhores mods para o Minecraft. É uma lista pessoal e subjetiva.

Minecraft Forge, como forjar os mods

Um problema típico é que às vezes os mods não se dão bem juntos, ou é impossívelinstalá-los em um único perfil. Este problema se resolve com o Forge, que permite a instalação de muitos dos melhores mods.
Tela de instalação do Minecraft Forge
Depois de instalar o Forge, abra o Minecraft, selecione o perfil recém-criado do Forge e execute o jogo uma vez. Se quiser mais sobre o procedimento de instalação, veja este artigo que eu escrevi. Atualmente não existe um sistema mais simples.
Seletor de perfis no Minecraft

Chroma Hills, gráficos no estilo Zelda em Minecraft

Chroma Hills é um pacote de recursos que modifica os gráficos de Minecraft para que tenham um acabamento mais refinado, semelhante aos jogos de fantasia, como o Zelda. Existem outros pacotes, mas este é o meu favorito.
Chroma Hills aprimora os gráficos do Minecraft
A aparência do Minecraft após a instalação do Chroma Hills é maravilhosa. Você pode ver exemplos aqui.
Para instalar o Chroma Hills basta copiar o arquivo ZIP na pasta assets de Minecraft. Você pode encontrá-la rapidamente se pressionar Windows+R, digitar %AppData% e pressionar Enter. Assets é uma das subpastas de Minecraft.
Este é o jeito mais rápido de chegar na pasta de dados do Minecraft
Este é o caminho mais rápido para chegar até a pasta AppData, que contém os dados de Minecraft
Depois de copiar o ZIP, execute o Minecraft, acesse o menu Opções e, em Pacotes de recursos, selecione o Chroma Hills com clique duplo. Confirme e o Minecraft irá mudar a aparência como se fosse mágica.
Mod Chroma Hills no Minecraft

Shaders Mod, a entrada para melhores gráficos

Shaders Mod é um outro mod que, como o Forge, não acrescenta nada em si, mas facilita o uso de outros mods, neste caso gráficos. Baixe a versão para o Forge correspondente à sua versão do Minecraft e coloque o arquivo .jar na pasta mods.
Shader Mods é outro mod para melhorar a aparência do Minecraft
É muito importante que você baixe a versão para o Forge e não o instalador. O instalador cria um perfil diferente de Minecraft Forge e, portanto, dos outros mods. Tenha atenção antes de baixar o complemento.

SEUS (Sonic Ether’s Unbelievable Shaders)

E já que o Shaders Mod é inútil sem um complemento para melhorar o gráfico, eu recomendo que você baixe o SEUS, o meu favorito. O efeito sobre os gráficos de Minecraft é espetacular. Veja essa imagem para perceber as diferenças.
Efeito SEUS: antes e depois no cenário do Minecraft
Para instalar o SEUS, baixe uma das versões (Standard, Ultra, etc) e copie o arquivo ZIP na pasta shaderspack de Minecraft (crie uma se não existir). Depois, no jogo, vá em Shaderse selecione SEUS em Opções > Shaders.
Seleção do SEUS no menu de opções

Millenaire, um toque de cultura é sempre bem-vindo

vazio no Minecraft é um dos aspectos que menos gosto do jogo. As aldeias, que foram introduzidas algumas versões atrás, aliviaram um pouco o problema da solidão, mas apenas em parte. Então eu acabei instalando Millenaire.
Mod Millenaire para você não ficar isolado
Uma aldeia medieval em Millenaire. Veja outras imagens na página oficial do mod
Millenaire adiciona aldeias de diferentes culturas para o jogo, com personagens falando, comércios e povoados de vários estilos. Ela tem seu próprio instalador, mas a maneira mais rápida é baixar o ZIP e descompactar em mods.

BuildCraft, para quem leva a construção a sério

Com o BuildCraft, você pode construir literalmente de tudo. O mod acrescenta mecanismos e recursos ao Minecraft - incluindo o petróleo, assim você pode montar todos os tipos de máquinas e edifícios com os blocos padrão do jogo.
Mod Buildcraft facilita criação de super equipamentos
O usuário SpaceToad está construindo um robô em Minecraft graças ao BuildCraft
Graças ao Forge, a instalação é muito fácil: baixe o arquivo e copie na pasta mods. Eu recomendo que você leia a documentação para aprender as novas ideias que o BuildCraft adiciona.

Biomes O’ Plenty, uma natureza mais rica e variada

Quando me cansei das paisagens de neve, instalei o Biomes O’ Plenty, um mod compatível com o Forge, que adiciona nada menos que 75 novos ambientes ao Minecraft. Os meus favoritos são o vulcão e o prado (ideal para andar a cavalo).
Vulcão do Mod Biomes O’ Plenty
Um vulcão! Nesta galeria você pode ver todos os ambientes de Biomes O' Plenty
Tal como acontece com outros mods, para instalar o Biomes O' Plenty é necessário baixar oarquivo Universal correspondente à sua versão de Minecraft e copiá-lo na pasta Mods.

DecoCraft, um monte de novos itens decorativos

Eu construí e decorei muitas casas com o DecoCraft. Este mod adiciona um monte de objetos de decoração no Minecraft. Por exemplo, com o DecoCraft você pode adicionar talheres, camas e até mesmo lápides.
Decocraft, o mod para decorar casas e ambientes
Recriar uma adega com barris e jarras é muito fácil se você usar o Decocraft (fonte)
Ele é instalado adicionando o arquivo correspondente à sua versão do Minecraft na pasta Mods. Depois de começar o jogo, você pode criar objetos, seguindo as receitas na documentação.

Mo’Creatures, o zoológico chega ao Minecraft

Vacas e galinhas são bons, mas o mundo do Minecraft merece um pouco mais de vida. Por isso eu sugiro que você experimente o Mo’Creatures, um mod que adiciona 40 novas criaturas, como elefantes ou árvores que andam.
Mod MoCreatures aprimora a biodiversidade terrestre
Os ents são uma das 40 espécies adicionadas pelo Mo'Creatures (fonte)
O Mo'Creatures requer o CustomMobSpawner para ser executado. Copie ambos os arquivos na pasta Mods e você encontrará as criaturas andando aleatoriamente. Para mais informações, consulte o post original no fórum.

E se o Minecraft fechar por erros?

Eu testei essa combinação de mods e pessoalmente não tive nenhum problema com o Minecraft 1.7.10, mas é possível que em futuras atualizações as coisas poderão mudar. Eu sugiro que adicione os mods um por um e, depois, experimente o jogo.